La gravitation à grand nombre de dimension (S04)
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Certains théoriciens ont proposé de modifier l’espace-temps, la gravité et même l’échelle de Planck elle-même. À la base de cette proposition, on suppose que l’échelle de Planck doit être conçue comme l’énergie à laquelle les forces de la Nature s’équilibrent. Source de tant de difficultés dans la théorie actuelle, sa valeur résulterait d’une hypothèse jamais démontrée: la validité universelle de la loi de Newton. La loi de Newton décrit l’intensité des forces par lesquelles deux masses s’attirent : elle stipule que cette intensité est inversement proportionnelle au carré de la distance qui sépare les masses. Cette loi de la gravitation est parfaitement vérifiée à grande distance : aux distances macroscopiques, à notre échelle ou à l’échelle des systèmes planétaires, stellaires, galactiques, etc. Toutefois, les forces gravitationnelles sont si faibles qu’on n’a pas mesuré leur intensité aux distances inférieures à un millimètre environ. Pour conclure qu’elles sont égales aux autres interactions à l’échelle de Planck, on doit extrapoler la loi macroscopique sur 32 ordres de grandeur! La loi de Newton telle que nous la connaissons n’est naturelle que dans un espace à trois dimensions. Considérons, en effet, les forces d’attraction gravitationnelles dues à une masse sphérique. Ces forces, à une distance donnée, se répartissent sur une sphère dont la surface croît avec le carré du rayon, de sorte que l’intensité des forces doit diminuer d’autant. Dans un univers qui aurait quatre dimensions spatiales, les lignes de champ issues d’une masse ponctuelle se répartiraient sur l’équivalent d’une sphère, à quatre dimensions. Comme l’aire d’une telle hypersphère augmente avec le cube de son rayon, la force de gravitation serait inversement proportionnelle au cube de la distance à la masse. Manifestement, une telle loi ne règle pas les phénomènes cosmiques. Supposons cependant qu’une quatrième dimension spatiale soit cyclique, de rayon R : en chaque point de l’espace tridimensionnel, on imagine la présence d’un petit cercle. Toutefois, on imagine difficilement la présence de ces cercles alors qu’ils ne sont pas dans l’espace tridimensionnel. Pour comprendre leur relation, imaginons un univers qui n’aurait que deux dimensions d’espace, dont une serait cyclique. Un tel univers serait comme le cylindre. Aux échelles bien supérieures à son diamètre, la géométrie et la physique dans un tel univers se confondent quasiment avec celles de la droite. À petite échelle, au contraire, la présence de la dimension cyclique fait apparaître des propriétés originales. Notamment, quand une masse est présente, les lignes de champ gravitationnel (perpendiculaires aux lignes d’égale intensité des forces de gravitation) s’étalent dans l’espace, de sorte qu’aux distances supérieures au rayon R de la dimension cyclique, l’influence de la dimension cyclique n’intervient plus. De même, dans un modèle d’univers à dimensions cycliques supplémentaires, les lignes du champ de gravitation situées à une distance de la masse bien inférieure à R se répartissent dans les quatre dimensions spatiales, comme si l’espace était identique selon ces quatre dimensions, et l’intensité de la gravitation décroît alors comme l’inverse du cube de la distance à la masse. En revanche, à distance supérieure, les lignes de champ ne se répartissent régulièrement que dans trois dimensions, et la force de gravitation décroît comme l’inverse du carré de la distance. L’ajout de plusieurs dimensions supplémentaires a les mêmes effets : pour n dimensions spatiales supplémentaires refermées sur elles-mêmes, la force de gravitation décroît comme l’inverse de la puissance (2 + n)ième de la distance, aux distances inférieures à R. L’introduction de dimensions supplémentaires donnerait aux forces de gravitation une intensité supérieure aux courtes distances, de sorte que l’échelle de Planck serait bien supérieure à 10–35 mètre. On résoudrait notamment le problème de la hiérarchie en ajoutant suffisamment de dimensions pour que l’échelle de Planck soit proche de l’échelle électrofaible : vers 10–19 mètre, au lieu de 10–35. Une telle idée de dimensions cycliques supplémentaires n’est pas nouvelle : elle date des années 1920, quand le mathématicien polonais Theodor Kaluza et le physicien suédois Oskar Klein développèrent une remarquable théorie qui unifiait la gravitation et l’électromagnétisme à l’aide d’une dimension supplémentaire. L’idée fut ensuite reprise dans la théorie des cordes, édifice mathématique dont la cohérence nécessite dix dimensions spatiales. Cependant, les théoriciens qui utilisaient jusqu’à présent des dimensions cycliques supplémentaires leur supposaient toujours un rayon proche de l’échelle de Planck habituelle, de 10–35 mètre ; le problème hiérarchique restait ouvert. Dans la théorie récemment proposée, au contraire, les dimensions cycliques sont à l’intérieur de cercles dont le rayon, selon les modèles, est compris entre 10–14 mètre à un millimètre.
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